マツド・サイエンス研究所

正規分布(ガウス分布)の累積分布 数値計算

仮説レベル c4
2019.06.30
正規分布(ガウス分布)の場合、確率密度関数は、下記のようになる。
f x = 1 2 π e - x 2 2
累積分布関数は、下記のように確率論において、実数値確率変数 X が x 以下になる確率の関数のこと
F X = - X f x d x
ガウス確率密度関数の場合、累積分布関数の一般解は存在しない。 ただし、-∞から+∞の積分は、ガウス積分の公式で1になる
ここでは、Ruby の BigDecimal により 128桁の実数を使って数値積分で、ガウス確率密度関数の場合の累積分布関数を計算した結果を示す。
σ それから外れる確率 備考
σ=1 0.3173 いわゆる「1σにおさまる確率は 約 68.27%」
σ=2 4.550 × 10 - 2 いわゆる「2σにおさまる確率は 約 95.45%」
σ=3 2.700 × 10 - 3 いわゆる「3σにおさまる確率は 約 99.73%」
σ=4 6.334 × 10 - 5 ここから後は、数値計算で求めている
σ=5 5.733 × 10 - 7
σ=6 1.973 × 10 - 9
σ=7 2.560 × 10 - 12
σ=8 1.244 × 10 - 15
σ=9 2.257 × 10 - 19
σ=10 1.524 × 10 - 23 この辺までは信用できると思う
σ=11 3.821 × 10 - 28 この先は、自信がない
σ=12 3.553 × 10 - 33
σ=13 1.223 × 10 - 38
σ=14 1.559 × 10 - 44
σ=15 7.342 × 10 - 51
σ=16 1.278 × 10 - 57
σ=17 8.212 × 10 - 65
σ=18 1.948 × 10 - 72
σ=19 1.705 × 10 - 80
σ=20 5.507 × 10 - 89
σ=21 6.559 × 10 - 98
σ=22 2.880 × 10 - 107
σ=23 4.661 × 10 - 117
σ=24 1.596 × 10 - 127
σ=25 0.0 完全に桁落ちしている