オイラー運動方程式シミュレーション

剛体回転の運動方程式

オイラーの運動方程式とは、剛体の回転運動を表す式で、外部からの力がない場合、下のようになる。

\frac{d ω_{1}}{d t} = \frac{I_{2} - I_{3}}{I_{1}} ω_{2} ω_{3}

\frac{d ω_{2}}{d t} = \frac{I_{3} - I_{1}}{I_{2}} ω_{3} ω_{1}

\frac{d ω_{3}}{d t} = \frac{I_{1} - I_{2}}{I_{3}} ω_{1} ω_{2}

ここで、 $ω_{1}$ と $ω_{2}$ と $ω_{3}$ は、剛体の各軸周りの角速度である。

剛体の各軸周りの角運動量ベクトル $L_{1}$ と $L_{2}$ と $L_{3}$ は、次のようになる。また、角運動量ベクトルは慣性座標系では保存される

L_{1} = I_{1} ω_{1}

L_{2} = I_{2} ω_{2}

L_{3} = I_{3} ω_{3}

回転による運動エネルギー $T$ は、次のようになり、単一の剛体で外力が無ければ、保存される

T = \frac{1}{2} I_{1} {ω_{1}}^{2} + \frac{1}{2} I_{2} {ω_{2}}^{2} + \frac{1}{2} I_{3} {ω_{3}}^{2} = \frac{{L_{1}}^{2}}{2 I_{1}} + \frac{{L_{2}}^{2}}{2 I_{2}} + \frac{{L_{3}}^{2}}{2 I_{3}}